\section{线性变换的值域与核}


\begin{frame}{本节概要}
  \begin{enumerate}
    \item 我们将定义线性变换的像和核，这些都是子空间。像空间、核空间的维数分别称为
      该线性变换的秩和零度。
    \item 我们会用线性变换的矩阵来描述该线性变换的像和核。
      我们得到了秩-零度定理，即线性变换的秩和零度之和等于$n$, 
      其中$n$是线性空间$V$的维数。
      可以把这个结果看作是``$n$元线性方程组$AX=0$的解空间的维数和$A$的秩之和等于$n$''
      这个我们熟知的结论通过同构$V\cong P^{(n)}$拉过来的。
  \end{enumerate}
\end{frame}

\begin{frame}{线性变换的值域与核}
  \begin{definition}
  设 $\mathscr{A}\colon V\rightarrow V$ 是线性空间 $V$ 上的一个线性变换， 
  $\mathscr{A}$ 的全体像组成的集合称为 $\mathscr{A}$ 的\emph{值域} (range) 或\emph{像} (image)，
用 $\mathscr{A} V$ 或 $\im \sA$ 表示。 
所有被 $\mathscr{A}$ 变成零向量的向量组成的集合称为 $\mathscr{A}$ 的\emph{核} (kernel)， 
用 $\mathscr{A}^{-1}(0)$ 或 $\ker \sA$ 表示。
也就是说，
\begin{align*}
  \mathscr{A} V=\im \sA &\coloneq \{\mathscr{A}  \xi \mid  \xi \in V\},\\
  \mathscr{A}^{-1}(\symbf{0})=\ker \sA &\coloneq  \{ \xi \in V\mid A  \xi=\symbf{0}\}.
\end{align*}
\end{definition}


\begin{lemma}
线性变换$\sA\colon V\rightarrow V$的像与核是 $V$ 的子空间。
\end{lemma}

因此我们有时也说\emph{像空间}和\emph{核空间}。

\begin{proof}
由
\[
\mathscr{A}  \alpha+\mathscr{A}  \beta=\mathscr{A}( \alpha+ \beta), \quad k \mathscr{A}  \alpha=\mathscr{A}(k  \alpha)
\]
可知， $\mathscr{A} V$ 对加法与数量乘法是封闭的， 同时， $\mathscr{A} V$ 是非空的， 因此 $\mathscr{A} V$ 是 $V$ 的子空间。 由 $\mathscr{A}\alpha =0$ 与 $\mathscr{A}  \beta=0$ 可知，
\(
\mathscr{A}( \alpha+ \beta)=0,  \mathscr{A}(k  \alpha)=0 .
\)
这就是说， $\mathscr{A}^{-1}(0)$ 对加法与数量乘法是封闭的。 又因为 $\mathscr{A}(0)=0$, 所以 $0 \in \mathscr{A}^{-1}(0)$, 即 $\mathscr{A}^{-1}(0)$ 是非空的。 因此， $\mathscr{A}^{-1}(0)$ 是 $V$ 的子空间。
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}


\begin{definition}
  $\im \sA$ 的维数称为 $\mathscr{A}$ 的\emph{秩} (rank)，记作$\rank \sA$;
  $\ker \sA$ 的维数称为 $\mathscr{A}$ 的\emph{零度} (nullity)，记作$\Null \sA$.
也就是说，
\[
  \rank \sA=\dim \im \sA,\quad \Null\sA = \dim \ker \sA.
\]
\end{definition}

\begin{example}\label{14D}
考虑线性空间 $P[x]_{n}$上的微分算子
$
  \sD(f(x))=f^{\prime}(x).$
 $\mathscr{D}$ 的值域就是 $P[x]_{n-1}$, $\mathscr{D}$ 的核就是子空间 $P$.
 特别地，$\rank \sD=n-1, \Null \sD=1$. 我们来验证下确有 $\im \sD=P[x]_{n-1}$. 
 对
 \[
   f=a_{n-1} x^{n-1}+ \cdots+a_1x+a_0\in P[x]_n,
 \]
 我们有
 \[
   \sD(f)=(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\cdots+a_1\in P[x]_{n-1},
 \]
 故 $\im \sD\subset P[x]_{n-1}$. 而对
 \[
   g = a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_1x+a_0\in P[x]_{n-1},
 \]
 令 (想想积分)
 \[
   f=a_{n-2}\frac{x^{n-1}}{n-1}+\cdots+a_1\frac{x^2}{2}+a_0x \in P[x]_{n},
 \]
 则 
 \(
   \sD(f)=g.
 \)
 故 $P[x]_{n-1}\subset \im \sD$. 
 这样 $\im\sD=P[x]_{n-1}$.
\end{example}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{theorem}
  \label{1A3}
  设 $\mathscr{A}\colon V\rightarrow V$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换， $\symbb{B}=( \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n})$是 $V$ 的一组基，在这组基下 $\mathscr{A}$ 的矩阵是 $A$, 则
  \[
    \ker \sA= \{\symbb{B} X\mid X\in W_A\},\quad
    \im \sA= \{\symbb{B} Y\mid Y\in \Span_c A\},
\]
其中$W_A$为齐次线性方程组$AX=0$的解空间，$\Span_c A$为$A$的列空间。
因此，取$V$中向量在基$\symbb{B}$下的坐标向量定义的同构
\[
  \varphi\colon V\rightarrow P^{(n)}, \quad \symbb{B} X\mapsto X .
\]
限制为同构
\[
  \ker\sA\cong W_A, \quad \im\sA\cong \Span_c A;
\]
  特别地，
  \[
    \Null \sA = n-\rank A,\quad \rank \sA=\rank A.
  \]
%\begin{enumerate}
%  \item  $\mathscr{A}$ 的值域 $\mathscr{A} V$ 是由基像组生成的子空间， 即
%    \[
%    \mathscr{A} V=L\left(\mathscr{A} \varepsilon_{1}, \mathscr{A} \varepsilon_{2}, \cdots, \mathscr{A} \varepsilon_{n}\right) ;
%\]
%\item $\rank \sA=\rank A$.
%\end{enumerate}
\end{theorem}

另外，由$\sA$保持线性组合易知 \emph{$\im \sA = L(\sA\varepsilon_1, \cdots, \sA\varepsilon_n)$,
即$\im\sA$为所有基中向量的像生成的子空间} (课本定理10(1))。 

由定理~\ref{1A3}~知，
要确定具体的$\sA$的核空间和像空间的一组基，
我们选取合适的基$\symbb{B}$后写出$\sA$在该基下的矩阵$A$,
然后找到齐次线性方程组$AX=0$的一组基础解系$\eta_1,\cdots,\eta_{n-r}$, 
找到$A$的列向量组的一个极大线性无关组$\alpha_1,\cdots,\alpha_r$ (这些都归结为行化简$A$至阶梯形)。
此时，$\ker\sA$和$\im \sA$的一组基分别为
$\symbb{B} \eta_1,\cdots,\symbb{B}\eta_{n-r}$和
$\symbb{B}  \alpha_1, \cdots, \symbb{B} \alpha_r$.

%此定理说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持秩不变。
%\begin{proof}
%  \begin{enumerate}
%    \item 设 $\xi$ 是 $V$ 中任一向量， 可用基的线性组合表示为$\xi=\sum_{i=1}^n x_i \varepsilon_i$.
%      于是$\sA(\xi)=\sum_{i=1}^n x_i \sA(\varepsilon_i)$. 
%这个式子说明， $\mathscr{A} \xi \in L\left(\mathscr{A} \varepsilon_{1}, \mathscr{A} \varepsilon_{2}, \cdots, \mathscr{A} \varepsilon_{n}\right)$. 因此 $\mathscr{A} V$ 包含在 $L\left(\mathscr{A} \varepsilon_{1}, \mathscr{A} \varepsilon_{2}, \cdots, \mathscr{A} \varepsilon_{n}\right)$ 内。这个式子还表明基像组的线性组合还是一个像， 因此 $L\left(\mathscr{A}  \varepsilon_{1}, \mathscr{A}  \varepsilon_{2}, \cdots, \mathscr{A}  \varepsilon_{n}\right)$ 包含在 $\mathscr{A} V$内。 这样， $\mathscr{A} V=L\left(\mathscr{A} \varepsilon_{1}, \mathscr{A} \varepsilon_{2}, \cdots, \mathscr{A} \varepsilon_{n}\right)$.
%
%\item 根据 (1), $\mathscr{A}$ 的秩等于基像组的秩。另一方面，矩阵 $ A$ 是由基像组的坐标按列排成的。 在前一章 \S8 中曾谈过， 若在 $n$ 维线性空间 $V$ 中取定了一组基之后， 把 $V$ 的每一个向量与它的坐标对应起来， 我们就得到 $V$ 到 $P^{n}$ 的同构对应。 同构对应保持向量组的一切线性关系， 因此基像组与它们的坐标组 (即矩阵 $A$ 的列向量组) 有相同的秩。
%\end{enumerate}
%\end{proof}

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
    设$\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$是$3$维线性空间$V$的一组基，
    $V$上的线性变换$\sA$在该基下的矩阵为
    \[
      A=\begin{pmatrix}
        1 & 0 & 2 \\
        -1 & 2 & 1 \\
        0 & 2 & 3
      \end{pmatrix}.
    \]
  行化简$A$至阶梯形可得：
  \[
    \begin{pmatrix}
        1 & 0 & 2 \\
        -1 & 2 & 1 \\
        0 & 2 & 3
      \end{pmatrix}\xrightarrow{r_2+r_1} \begin{pmatrix}
        1 & 0 & 2 \\
        0 & 2 & 3 \\
        0 & 2 & 3
      \end{pmatrix}\xrightarrow{r_3-r_2} 
      \begin{pmatrix}
        1 & 0 & 2 \\
        0 & 2 & 3 \\
        0 & 0 & 0
      \end{pmatrix}.
  \]
  由此可知，$A$的 第$1,2$列$\alpha_1=(1,-1,0)^{\rT}$, $\alpha_2=(0,2,2)^{\rT}$
  构成$A$的列向量组的一个极大线性无关组，也是$A$的列空间$\Span_c A$的一组基，
  从而 $\sA V$的一组基为
  \[
    (\symbb{B}\alpha_1, \symbb{B}\alpha_2)=(\varepsilon_1-\varepsilon_2,
    2\varepsilon_2+2\varepsilon_3).
  \]
  另外，可知齐次线性方程组$AX=0$的一组基础解系为
  $\eta=(-2,-\frac{3}{2},1)^{\rT}$. 因此$\sA^{-1}(0)$的一组基为
  \[
    \symbb{B}\eta=-2\varepsilon_1-\frac{3}{2}\varepsilon_2+\varepsilon_3.
  \]
  \end{example}
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{proof*}[定理~\ref{1A3}~的证明]
  对$\alpha=\symbb{B} X\in V$, $\sA \alpha=\symbb{B} (AX)$. 
  显然$\sA \alpha=0$当且仅当$AX=0$. 因此
  \[
    \ker \sA =\{\symbb{B} X\mid X\in P^{(n)}, AX=0\}=\{\symbb{B} X\mid X\in W_A\} .
  \]
  对$\im \sA$,
  我们有
  \[
  \begin{aligned}
      \im \sA&= \{\sA \alpha\mid \alpha\in V\} \\
      &=  \{\sA (\symbb{B} X )\mid X\in P^{(n)}\} && (\text{因为~} V=\{\symbb{B}X\mid X\in P^{(n)}\}) \\
      &=    \{\symbb{B} AX\mid X\in P^{(n)}\}  && (\text{因为~} \sA (\symbb{B} X )= \sA (\symbb{B}  )X=\symbb{B} AX) \\
      &=  \{\symbb{B} Y\mid Y\in \Span_c A\}. && (\text{因为~}  \Span_c A=\{AX\mid X\in P^{(n)}\})
          \end{aligned}
\]
由上述对$\ker \sA$和$\im \sA$的描述可知
子空间$\ker\sA$和$\im\sA$在$\varphi$下的像分别为
\[
  \varphi(\ker\sA)=W_A, \quad \varphi(\im\sA)=\Span_c A.
\]
应用第六章定理~\ref{13F}\eqref{同构与子空间}~知
$\varphi$限制为同构
\[
  \ker\sA\cong W_A, \quad \im\sA\cong \Span_c A.
\]
  从而
  \[
  \begin{aligned}
\Null \sA &=   \dim \ker \sA =\dim W_A = n-\rank A,\\
\rank \sA &=   \dim \im \sA= \dim \Span_c A=\rank A.
\end{aligned}
\]
\end{proof*}
 
\end{frame}

\iffalse
\begin{frame}
  \begin{example}
    
  \end{example}
\end{frame}
\fi

\begin{frame}
  由定理~\ref{1A3}~立得
  \begin{theorem}[维数公式 (秩-零度定理)]
    \label{1A4}
设 $\mathscr{A}\colon V\rightarrow V$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，那么
\[
  \rank \sA + \Null \sA = n.
\]
\end{theorem}
如下两个推论很有用 (第八节证明Jordan标准形的存在性时会用推论~\ref{1A1}, 
在引理~\ref{15E}~的证明中)。
\begin{corollary}\label{1A1}
  如定理~\ref{1A4}~设定。那么$\im \sA$ 的一组基的一组原像
  (基中每个向量各取一个原像) 及 $\ker \sA$ 的一组基合起来就是 $V$ 的一组基。
\end{corollary}
\begin{remark*}
  应该指出虽然子空间 $\mathscr{A} V$ 与 $\sA^{-1}(0)$ 的维数之和为 $n$, 
  但是 $\sA V+ \sA^{-1}(0)$ 不必是整个空间，或者说，核与像的基合并后可能不是$V$的基，
  因为核与像可能有非平凡的交 (参看例~\ref{14D})。
\end{remark*}

\begin{corollary}\label{1A0}
  对于有限维线性空间$V$上的线性变换$\sA$,
  $\sA$是单射，当且仅当$\ker \sA=\{0\}$, 当且仅当$\sA$ 是满射。
\end{corollary}
\end{frame}


    \begin{frame}
      \begin{example}\label{166}
    设 $ A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵， $ A^{2}= A$, 我们来证明 $ A$ 相似于一个对角矩阵
    \[\tag{3}
      \begin{pmatrix}
        E_r & \\ &0
      \end{pmatrix}=\left[\begin{array}{lllllll}
        1 & & & & & & \\
      & 1 & & & & & \\
    & & \ddots & & & & \\
  & & & 1 & & & \\
& & & & 0 & & \\
& & & & & \ddots & \\
& & & & & & 0
\end{array}\right],
\]
其中$r=\rank A$.
考虑$V=P^{(n)}$上用$A$左乘定义的线性变换$\sA$, 
其在自然基下的矩阵为$A$ (参见例~\ref{016})。
%取一 $n$ 维线性空间 $V$ 以及 $V$ 的一组基 $B=(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n})$. 定义线性变换 $\mathscr{A}$ 如下：
%\[
%\mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right)=\left(\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}\right) A .
%\]
我们断言 $\mathscr{A}$ 在一组适当的基下的矩阵是 (3). 这样， $A$相似于矩阵(3).

由 $A^{2}=A$ 可知 $\mathscr{A}^{2}=\mathscr{A}$: 
\[
  \sA^2(\alpha)=\sA(\sA(\alpha))=A(A\alpha)=A\alpha=\sA(\alpha).
\]
(或者这样论证：$\sA, \sA^2$的矩阵分别为$A, A^2$; 
  既然$A=A^2$, $\sA, \sA^2$有相同的矩阵，
即在所给的基上的作用相同，因此$\sA=\sA^2$.)
特别地，$\sA|_{\sA V}\colon \sA V\rightarrow \sA V$是恒等变换。 
我们取 $\mathscr{A} V$ 的一组基 $ \eta_{1}, \cdots,  \eta_{r}$.
%$\sA V=\Span_c A$表明 $r=\rank A$.
由 $\mathscr{A} { \eta}_1= \eta_{1}, \cdots, \mathscr{A}  \eta_{r}= \eta_{r}$知
$\eta_1,\cdots,\eta_r$分别是 $ \eta_{1}, \cdots,  \eta_{r}$的一个原像。 
再取 $\mathscr{A}^{-1}( 0)$ 的一组基 $ \eta_{r+1}, \cdots,  \eta_{n}$. 
那么 $ \eta_{1}, \cdots$, $ \eta_{r},  \eta_{r+1}, \cdots,  \eta_{n}$ 是 $V$ 的一组基。 
在这组基下， $\mathscr{A}$ 的矩阵就是 (3), 断言得证。 
\end{example}
\end{frame}




\begin{frame}

  \begin{proof*}[推论~\ref{1A1}~的证明]
    设$\symbb{B} _1$为$V$中向量组使得$\sA (\symbb{B} _1)$为$\im \sA$的一组基，
  $\symbb{B} _2$为$\ker\sA$的一组基。
  向量组$\symbb{B} =(\symbb{B} _1, \symbb{B} _2)$包含了$\dim V$个向量，
  要证明其是$V$的一组基，只用证明$\symbb{B}$生成$V$（或者证明$\symbb{B}$线性无关）。 
  对任意的$\alpha\in V$, $\sA \alpha\in \im\sA$, 可设
  \[
    \sA \alpha=\sA(\symbb{B} _1)Y_1=\sA\left( \symbb{B} _1Y_1 \right).  
  \]
  进而有
  \[
    \sA(\alpha-\symbb{B} _1Y_1)=0.
  \]
  既然 $\alpha-\symbb{B} _1Y_1\in \ker \sA$, 可设$\alpha-\symbb{B} _1Y_1=\symbb{B} _2Y_2$. 
  $\alpha=\symbb{B} _1Y_1+\symbb{B} _2Y_2$ 表明 $\alpha$可由$\symbb{B} $线性表出。这就证明了$\symbb{B} $生成$V$.
证毕。

亦可如下证明$\symbb{B}$线性无关来证明$\symbb{B}$为基。
令$0=\symbb{B}_1 X_1+ \symbb{B}_2X_2$, 其中$X_1\in P^{(r)}, X_2\in P^{(n-r)}$.
用$\sA$作用得
\[
  0=\sA(\symbb{B}_1 X_1+ \symbb{B}_2X_2)= \sA(\symbb{B}_1) X_1+ \sA(\symbb{B}_2) X_2 = \sA(\symbb{B}_1) X_1.
\]
既然$\sA(\symbb{B}_1)$作为$\im\sA$的基是线性无关的，$X_1=0$. 从而$0=\symbb{B}_2X_2$.
而$\symbb{B}_2$作为$\ker\sA$的基是线性无关的，因此 $X_2=0$. 这就证明了$\symbb{B}$线性无关。
  \end{proof*}

  \begin{proof*}[推论~\ref{1A0}~的证明]
    $\sA$是单射当且仅当$\ker \sA=\{0\}$, 当且仅当$\Null \sA=0$,
    当且仅当$\rank \sA=\dim V$, 当且仅当$\im \sA=V$, 即$\sA$是满射。
  \end{proof*}


\end{frame}

\iffalse
\begin{frame}{维数公式（秩-零度定理）}
  给定矩阵$A\in P^{m\times n}$, 我们熟知齐次线性方程组$AX=0$的解空间的维数为$n-\rank A$. 考虑线性变换$\sA\colon P^{(n)}\rightarrow P^{(m)}, x\mapsto Ax$, 我们有
  \[
    \rank \sA + \Null \sA = \rank A +(n-\rank A)=n=\dim P^{(n)}.
  \]
  由线性变换与矩阵的对应，易知上式一般地成立（后面的证明更直接点，并未借助线性变换与矩阵的对应；我们会证明一个有用的中间结论。）

  \begin{theorem}[维数公式]
设 $\mathscr{A}\colon V\rightarrow W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 到线性空间$W$的线性变换，那么$\im \sA$ 的一组基的一组原像（基中每个向量各取一个原像）及 $\ker \sA$ 的一组基合起来就是 $V$ 的一组基。特别地，
\[
  \rank \sA + \Null \sA = n.
\]
\end{theorem}
\begin{remark*}
  应该指出，如果我们考虑的是线性变换$\sA\colon V\rightarrow V$，虽然子空间 $\mathscr{A} V$ 与 $\mathscr{A}^{-1}(\symbf{0})$ 的维数之和为 $n$, 
但是 $\im \sA+ \ker \sA$ 不必是整个空间 (参看前例)。
\end{remark*}
\begin{corollary}\label{19E}
  对于有限维线性空间$V$上的线性变换$\sA$,
  $\sA$是单射，当且仅当$\ker \sA=\{0\}$, 当且仅当$\sA$ 是满射。
\end{corollary}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof*}[推论~\ref{19E}~的证明]
    $\sA$是单射当且仅当$\ker \sA=\{0\}$, 当且仅当$\Null \sA=0$,
    当且仅当$\rank \sA=\dim V$, 当且仅当$\im \sA=V$, 即$\sA$是满射。
  \end{proof*}

  \begin{proof*}[维数公式的证明]
  设$\symbb{B} _1$为$V$中向量组使得$\sA \symbb{B} _1$为$\im \sA$的一组基，
  $\symbb{B} _2$为$\ker\sA$的一组基。
  要证明$\symbb{B} =(\symbb{B} _1, \symbb{B} _2)$为$V$的一组基，我们要证明$\symbb{B} $生成$V$且无关。
  对任意的$\alpha\in V$, $\sA \alpha\in \im\sA$, 可设
  \[
    \sA \alpha=\sA(\symbb{B} _1)Y_1=\sA\left( \symbb{B} _1Y_1 \right).  
  \]
  进而有
  \[
    \sA(\alpha-\symbb{B} _1Y_1)=0.
  \]
  既然 $\alpha-\symbb{B} _1Y_1\in \ker \sA$, 可设$\alpha-\symbb{B} _1Y_1=\symbb{B} _2Y_2$. 
  $\alpha=\symbb{B} _1Y_1+\symbb{B} _2Y_2$ 表明 $\alpha$可由$\symbb{B} $线性表出。这就证明了$\symbb{B} $生成$V$.
  考虑$\symbb{B} $的一个线性关系
  \[\tag{$*$}
    0=\symbb{B} _1X_1+\symbb{B} _2X_2.
  \]
  用$\sA$作用后得
  \[
    0=\sA\left( \symbb{B} _1X_1 \right)=\sA(\symbb{B} _1)X_1.
  \]
  $\sA\symbb{B} _1$作为$\im \sA$的一组基是线性无关的，从而$X_1=0$. 
  这样($*$)变成了$0=\symbb{B} _2X_2$. 
$\symbb{B} _2$作为$\ker\sA$的一组基是线性无关的，从而$X_2=0$. 
这就证明了$\symbb{B} $线性无关。
证毕。
\end{proof*}
\end{frame}
\fi
%
%\begin{frame}
%  \begin{proof}[维数公式的证明]
%设 $\mathscr{A} V$ 的一组基为 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta_{r}$, 
%取它们的一个原像分别为 $\varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{r}$, 
%从而$\mathscr{A}  \varepsilon_{i}= \eta_{i}(i=1$, $2, \cdots, r)$. 
%又取 $\mathscr{A}^{-1}( 0)$ 的一组基为 $ \varepsilon_{r+1},  \varepsilon_{r+2}, \cdots,  \varepsilon_{s}$. 现来证 $ \varepsilon_{1},  \varepsilon_{2}, \cdots,  \varepsilon_{r},  \varepsilon_{r+1}, \cdots,  \varepsilon_{s}$ 为 $V$ 的基。 如果有
%\[
%l_{1} \varepsilon_{1}+\cdots+l_{r} \varepsilon_{r}+l_{r+1} \varepsilon_{r+1}+\cdots+l_{s} \varepsilon_{s}=\symbf{0} .
%\]
%用 $\mathscr{A}$ 去变换 (1)式两端的向量，则
%\[
%l_{1} \mathscr{A}  \varepsilon_{1}+\cdots+l_{r} \mathscr{A}  \varepsilon_{r}+l_{r+1} \mathscr{A} \varepsilon_{r+1}+\cdots+l_{s} \mathscr{A} \varepsilon_{s}=\mathscr{A} \symbf{0}=\symbf{0} .
%\]
%因 $ \varepsilon_{r+1}, \cdots,  \varepsilon_{s}$ 属于 $\mathscr{A}^{-1}(\symbf{0})$,故 $\mathscr{A}  \varepsilon_{r+1}=\cdots=\mathscr{A}  \varepsilon_{s}=\symbf{0}$. 又 $\mathscr{A}  \varepsilon_{i}= \eta_{i}(i=1,2, \cdots, r)$. 由 (2) 式即得
%\[
%l_{1}  \eta_{1}+l_{2}  \eta_{2}+\cdots+l_{r}  \eta_{r}=\symbf{0} .
%\]
%但 $ \eta_{1},  \eta_{2}, \cdots,  \eta$, 是线性无关的， 有 $l_{1}=l_{2}=\cdots=l_{r}=0$. 于是
%\[
%l_{r+1} \varepsilon_{r+1}+\cdots+l_{s} \varepsilon_{s}=\symbf{0},
%\]
%$\varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_{s}$ 又是 $\mathscr{A}^{-1}(0)$ 的基也线性无关， 就有 $l_{r+1}=\cdots=l_{s}=0$. 这证明了 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{r}$, $\varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_{s}$ 是线性无关的。
%\end{proof}
%\end{frame}
%
%
%\begin{frame}
%  \begin{proof}[证明（续）]
%
%再证 $V$ 的任一向量 $ \alpha$ 是 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{r}, \varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_{s}$ 的线性组合。 由 $ \eta_{1}=\mathscr{A}_{1}, \cdots,  \eta_{r}=$ $\mathscr{A} \varepsilon_{r}$ 是 $\mathscr{A} V$ 的基， 就有一组数 $l_{1}, \cdots, l_{r}$, 使
%\[
%\mathscr{A}  \alpha=l_{1} \mathscr{A}  \varepsilon_{1}+\cdots+l_{r} \mathscr{A}  \varepsilon_{r}=\mathscr{A}\left(l_{1} \varepsilon_{1}+\cdots+l_{r}  \varepsilon_{r}\right) .
%\]
%于是
%\[
%\mathscr{A}\left(\alpha-l_{1} \varepsilon_{1}-\cdots-l_{r} \varepsilon_{r}\right)=\symbf{0},
%\]
%即
%\[
% \alpha-l_{1} \varepsilon_{1}-l_{2} \varepsilon_{2}-\cdots-l_{r} \varepsilon_{r} \in \mathscr{A}^{-1}(\symbf{0}) .
%\]
%$ \varepsilon_{r+1}, \cdots,  \varepsilon_{s}$ 又是 $\mathscr{A}^{-1}(\symbf{0})$ 的基， 必有一组数 $l_{r+1}, \cdots, l_{s}$, 使
%\[
% \alpha-l_{1} \varepsilon_{1}-\cdots-l_{r} \varepsilon_{r}=l_{r+1} \varepsilon_{r+1}+\cdots+l_{s} \varepsilon_{s} .
%\]
%于是
%\[
%\alpha=l_{1} \varepsilon_{1}+\cdots+l_{r} \varepsilon_{r}+l_{r+1} \varepsilon_{r+1}+\cdots+l_{s} \varepsilon_{s}
%\]
%是 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{s}$ 的线性组合。 这就证明了 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{r}, \varepsilon_{r+1}, \cdots, \varepsilon_{3}$ 是 $V$ 的一组基。
%
%由 $V$ 的维数为 $n$, 知 $s=n$. 又 $r$ 是 $\mathscr{A} V$ 的维数也即 $\mathscr{A}$ 的秩， $s-r=n-r$ 是 $\mathscr{A}^{-1}(\symbf{0})$ 的维数，即 $\mathscr{A}$ 的零度。 因而
%\[
%  \rank \sA + \Null \sA = n.
%\]
%\end{proof}
%\end{frame}
%

\begin{frame}{小结}
  \begin{enumerate}
    \item 何为线性变换的核和值域（像空间）？何为线性变换的秩和零度？
    \item 如何利用线性变换的矩阵表示出线性变换的核、值域、秩、零度？
    \item 何为线性变换的维数公式？我们证明了何样的中间结论？
  \end{enumerate}
\end{frame}
